Marches aléatoires en dimension 1, 2 ou 3, ou histoire éthylique

Revenons à nos histoires d’alcoolique un instant (les précédentes sont en ligne iciet ). L’avant dernière fois (ici), nous avions parlé de la marche aléatoire, et du temps mis avant de trouver la sortie de la rue de la soif.

Et j’avais évoqué la probabilité la probabilité qu’il ne récupère pas les clés (i.e. qu’il ne repasse pas par l’origine) s’il peut sortir un jour de la rue. En probabilité, on appelle cela la probabilité de repasser par l’origine et cela vérifie une propriété étrange dès lors que l’on change de dimension… On va suivre notre alcoolique et noter https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy01.png sa position à la date https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy02.png, puis poser

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy03.png

autrement dit la probabilité de se retrouver à sa position initiale à la date n (et de retrouver ainsi ses clés), le https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy04.png pouvait être en n’importe quelle dimension, on posera

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy05.png

correspondant à la probabilité de premier retour à la position initiale, et enfin

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy06.png

qui est la probabilité de revenir un jour au point de départ, c’est à dire https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy04.png… C’est cette dernière grandeur qui nous intéresse….

  • De la probabilité de récupérer ses clés dans la rue

La rue est ici infinie (contrairement à l’autre fois, où on pouvait en sortir, soit vers la place de Lices, soit vers la place Sainte Anne). Autrement dit, on s’intéresse à la probabilité qu’une marche aléatoire sur https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy08.png issue de https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy04.png repasse un jour par https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy04.png. S’il va à droite ou à gauche avec probabilités https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethyl99.png et https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethyl98.png respectivement, notons que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy11.png, car il faut un nombre de pas pairs pour revenir à l’origine, et

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy12.png

Il est possible de montrer que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy13.png

et en particulier

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy14.png

On peut relier les https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy15.png et les https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy16.png en notant que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy17.png

Or https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy16.png constitue une distribution de probabilité, dont on peut définir la fonction génératrice

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethyl18.png

On notera que que l’on peut écrire

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy19.png

soit, en utilisant l’expression donnée auparavant

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethyl19.png

Soit finalement

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethyl20.png

ce qui se traduit par https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy21.png si la série https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy22.png converge. Aussi,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethyl25.png

donc si https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy26.png, notre alcoolique repassera presque sûrement par le point d’origine, alors que si https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethyl97.png, il ne repasse pas par le bar où il a oublié ses clés avec probabilité https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy27.png|.

  • De la probabilité de récupérer ses clés sur une place

La place est ici infinie de part et d’autre. Autrement dit, on s’intéresse à la probabilité qu’une marche aléatoire sur https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy09.png issue de https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy04.png repasse un jour par https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy04.png. Il a alors 1 chance sur 4 d’aller devant lui, autant d’aller en arrière, d’aller à gauche ou d’aller à droite. On peut noter que là encore
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy11.png, car il faut un nombre de pas pairs pour revenir à l’origine, et

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethyl26.png

Or on peut réécrire cette somme en notant que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy28.png

et que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethyl29.png

aussi,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethyl30.png

que l’on peut approcher (via la formule de Stirling) sous le forme

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy31.png

La série https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy22.png est alors divergente, et donc https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethyl31.png. Aussi, même sur une place, notre alcoolique reviendra presque sûrement à sa place initiale (et ce une infinité de fois, car une fois qu’il y est revenu et qu’il en repart, il repassera presque sûrement à cette position, etc).

  • De la probabilité de récupérer ses clés dans l’espace

Bon, cette fois notre alcoolique passe en dimension 3…. j’admets, il faut de l’imagination. On s’intéresse à la probabilité qu’une marche aléatoire sur https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy10.png issue de https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy04.png repasse un jour par https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethy04.png. Il a alors 1 chance sur 6 d’aller devant lui, autant d’aller en arrière, d’aller à gauche ou d’aller à droite, d’aller en haut ou d’aller en bas.

Il y a désormais 6 voisins, et en raisonnant comme avant (le maillage est un peu plus complexe), on obtient que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethyl32.png

Je laisse les amateurs de combinatoires faire des calculs ou des approximations, mais on peut montrer que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethyl33.png

La série \sum u_n est alors convergente, et

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ethyl34.png

qui vaut un peu plus de 1/3. Autrement dit, on a seulement 1 chance sur 3 de revenir à l’origine et de retrouver ses clés…
Bref, en dimension 1 ou 2, on repasse presque sûrement une infinité de fois à l’origine, mais en dimension 3, on a 2 chances sur 3 de ne jamais y repasser…. J’ai toujours trouvé ça étonnant….


4 thoughts on “Marches aléatoires en dimension 1, 2 ou 3, ou histoire éthylique”

  1. Je travaille sur la marche aléatoire dans Z² et je comprends pas pourquoi vous avez défini u(2n) avec une somme. Merci REPONSE: en dimension 1, tu n’as pas franchement de degrés de liberté, tu montes, ou tu descends, et comme tu sais que tu es revenue en 0 au bout de 2n étapes, c’est que tu es montée n fois.En dimension 2, tu as un degré de liberté, car tu peux monter, descendre, aller à gauche et aller à droite. Tu sais que si tu es allée k fois à gauche, tu es allée k fois à droite, et que si tu es allée m fois en haut tu es allée m fois en bas. Et au total ça te fait 2(k+m) déplacements, qui correspond à 2 n. Donc tu as 2 paramètres, une relation entre eux, et donc au final tu as 1 degré de liberté: tu dois donc regarder pour toutes les valeurs possible de k (qui va de 1 à n) ce qui se passe… d’où la  somme…

  2. Je n’ai pas de lien direct vers un jôli graphique, mais en Maple :

    p:=d->1-1/int(BesselI(0, t/d)^d*exp(-t), t=0..infinity);

    calcule ladite probabilité p(d) en dimension d. Après, on peut utiliser toutes les fonctions d’affichage préférées pour obtenir un graphique.
    À adapter selon le logiciel de calcul utilisé….

    REPONSE: bon, je vais regarder en R si les fonctions de Bessel sont programmées

  3. Et lorsque la dimension augmente encore, on a de moins en moins de chance de revenir à l’origine (en dimension 4, un peu moins de 20%), jusqu’à obtenir une probabilité nulle en dimension infinie.

    REPONSE: oui, mais je n’ai trouvé de graphique avec l’évolution de la probabilité en fonction de la dimension… si tu as ça quelque part, je suis preneur..

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