La Loi des Petits Nombres

Comme nous l’avions vu dans Charpentier (2010), la loi des grands nombres est souvent évoquée pour justifier la mutualisation des risques indépendants : plus la mutualité sera grande, plus petite sera la variabilité. A condition que les risques ne soient pas trop grands. Un cas problématique sont les risques catastrophiques : ils sont rares, et parfois tellement (potentiellement) coûteux que l’hypothèse d’existence de la variance doit être remise en cause. La modélisation de ces événements rares repose sur la loi des petits nombres, pour reprendre le nom de l’ouvrage de Ladislaus Bortkiewicz. Comme nous allons le voir, la loi de Poisson est à la loi des petits nombres ce que la loi normale est à la loi des grands nombres. Nous verrons donc en détails l’importance de la loi de Poisson pour modéliser les événements rares. Et nous verrons pourquoi la probabilité qu’un événement ne survienne pas est toujours de 37%. Ou presque.

  • La loi de Siméon-Denis Poisson

Siméon-Denis Poisson a travaillé sur les calculs des probabilités pendant presque 20 ans, de 1820 à 1840. Comme pour beaucoup de ses contemporains, ses premiers travaux portèrent sur des problèmes de jeux, avec une communication à l’Académie des Sciences sur l’avantage du banquier au jeu de trente et quarante. Mais son premier travail conséquent a porté sur un problème longuement étudié par Laplace (qui a été un de ses professeurs) sur la proportion des naissances des filles et des garçons (problème classique de statistique) publié en 1830. Il y présente en particulier une démonstration de la loi des grands nombres pour une loi de Bernoulli, qu’il modifiera par la suite. Dans ce mémoire, il y présente une loi, qui sera appelée plus tard la loi de Poisson : « la probabilité qu’une événement dont la chance à chaque épreuve est la fraction très petite x/mu n’arrive pas plus de  fois dans un très grand nombre d’épreuve mu d’épreuve (pour reprendre la terminologie utilisée en 1837, ce qui correspond à la fonction de répartition avec une terminologie plus contemporaine) est »

https://latex.codecogs.com/gif.latex?P=\left(1+x+\frac{x^2}{1\cdot%202}+\frac{x^3}{1\cdot%202\cdot%203}+\cdots+\frac{x^n}{1\cdot%202\cdots%20n}\right)e^{-x%20}

On verra réapparaître cette loi dans son fameux traité, paru en 1837, Recherches sur la probabilité des jugements. En particulier, dans le chapitre 8, il obtient sa loi comme limite de la loi binomiale https://latex.codecogs.com/gif.latex?B(T,\lambda%20/T) lorsque https://latex.codecogs.com/gif.latex?T devient grand, mais passe assez rapidement à d’autres considérations. Il n’étudie pas cette loi limite, et ne propose pas vraiment de l’utiliser. Il faudra attendre les travaux de Ladislaus Bortkiewicz, presque un siècle plus tard, pour voir des applications, dans Das Gesetz der kleinen Zahlen (la loi des petits nombres). Et comme toujours en mathématiques, lui attribuer tout le crédit est un peu excessif, puisqu’un siècle auparavant, en 1718, de Moivre avait obtenu la loi même loi, toujours comme limite de la loi Binomiale. Si le nom de Poisson est resté à la postérité, c’est essentiellement parce que Boltzmann le cite, en 1868, ainsi que Seidel en 1876, et surtout Tchebychev. Cela dit, Poisson était loin d’être un inconnu, en tant que scientifique. Ses travaux l’ont amené à travailler sur des problèmes d’électrostatique (la fameuse équation de Poisson), à l’équation de la chaleur avec Fourier, il s’est opposé à Fresnel sur des problèmes d’optique, et il a présidé à deux reprises l’Académie des Sciences.

La distribution d’un nombre d’événements obtenu comme somme de variables de Bernoulli, dans une grande population, peut s’approcher par la loi de Poisson. Ou lorsque la probabilité de survenance est faible, par rapport à la taille de l’échantillon. Formellement, si https://latex.codecogs.com/gif.latex?N suit une loi binomiale https://latex.codecogs.com/gif.latex?B(n,p), avec , alors

https://latex.codecogs.com/gif.latex?P[N=k]=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\sim%20e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}

On parlera de loi des petits nombres car on compte ici des évènements rares (la probabilité de survenance d’un évènement étant inversement proportionnelle à ).

Ce résultat se traduit de la manière suivante: si on se donne un échiquier, si on lance 100 pièces et si on compte le nombre de pièces par case, la distribution suivra une loi de Poisson de moyenne 1 (le ratio entre le nombre de pièces et de cases). Une illustration est évoquée sur la Figure suivante

Nombre de pièces par case

Fréquence

Loi de Poisson

0

36

36,78

1

39

36,78

2

16

18,39

3

7

6,13

4

2

1,53

5 et plus

0

0,37

  • L’utilisation de la loi de Poisson, et les mélanges Poissonniens

A la fin du XIXème siècle, à l’université de Göttingen, Wilhelm Lexis (connu en démographie pour les diagrammes qui portent aujourd’hui son nom) avait envie d’étudier les applications de cette loi. Alors qu’il étudiait l’utilisation de la loi de Poisson dans un contexte démographique, un de ces étudiants, Ladislaus Bortkiewicz, proposa de l’utiliser pour modéliser des nombres d’accidents. Dans l’exemple fameux de Bortkiewicz, datant de 1898, il avait étudié le nombre de soldats de cavaliers morts par ruade de cheval, entre 1875 et 1894, dans 10 corps (soit 200 corps annuels). Il avait obtenu la distribution donnée dans la table suivante. La colonne de droite donne le nombre de décès donné par une loi de Poisson de même moyenne. On note que l’ajustement est très bon, et on comprend vite la fascination de Bortkiewicz pour cette loi.

Nombre de décès, par corps

Fréquence

Loi de Poisson

0

109

108,67

1

65

66,21

2

22

20,22

3

3

4,11

4

1

0,63

5 et plus

0

0,08

Maintenant, pour être tout à fait honnête, la loi que nous avons énoncée comme une loi des petits nombres est très différente de celle proposée par Bortkiewicz (celle qu’il a énoncé dans son ouvrage lui a valu un cinglant commentaire de Corrado Gini, qui écrivait en 1907, de manière provocatrice que « the law of small numbers does not exist »). Mais l’utilisation de la loi de Poisson pour modéliser les accidents, et plus généralement les petits nombres venait de débuter.

Dans les années 1930, Filip Lunderg avait noté l’intérêt (théorique) du processus de Poisson pour modéliser l’arrivée des sinistres, ainsi que plusieurs actuaires de l’école scandinave (Esscher en 1932, Sgerdahl en 1939, Lüders en 1934, etc). Depuis, tous les actuaires ont utilisé cette loi pour modéliser toute sorte d’évènements “rares“, comme la survenance annuelle d’ouragans, aux États-Unis (Figure ci-dessous).

Nombre d’ouragans

Fréquence

Loi de Poisson

0

30

27,16

1

48

47,99

2

37

42,41

3

29

24,98

4

8

11,03

5

3

3,90

6

3

1,15

7

1

0,29

8 et plus

0

0,08

  • De la loi de Poisson à la période de retour

Un concept fondamental en gestion des risques extrêmes a été introduit par Emil Gumbel en 1958, liant le temps qui s’écoule (en années) entre deux événements consécutifs et la probabilité (annuelle) de survenance. Pour des événements se produisant avec une probabilité annuelle , indépendamment les uns des autres, le temps moyen d’attente entre deux événements est , appelé période de retour, et la probabilité qu’aucun événement ne survienne pendant années (consécutives) est alors

On peut résumer ceci dans le tableau ci-dessous, où on étudie probabilité qu’un événement ne survienne pas pendant n années (en ligne) en fonction de la période de retour . Pour un événement centenaire, il y a 36,60% chance pour qu’il ne survienne pas en cent ans.

Période de retour (en années)

Nombre d’années
sans catastrophe

10

20

50

100

200

10

34,86%

59,87%

90,43%

90,43%

95,11%

20

12,15%

35,84%

66,76%

81,79%

90,46%

50

0,51%

7,69%

36,41%

60,50%

77,83%

100

0,00%

0,59%

13,26%

36,60%

60,57%

200

0,00%

0,00%

1,75%

13,39%

36,69%

  • La probabilité qu’un événement ne survienne pas est… 37%

Comme on le voit dans le tableau ci-dessus, sur la diagonale, la probabilité qu’un événement ne survienne pas pendant années quand sa période de retour est est de l’ordre de 37%. D’ailleurs, si on revient un instant sur notre échiquier évoqué auparavant, la probabilité de n’avoir aucune pièce sur une case était de… 37%

Reprenons ici un exemple qui avait fait polémique il y a quelques années, sur le risque nucléaire. Dans un article (Laponche et Dessus, 2011), on apprenait que la probabilité d’avoir un incident majeur sur réacteur nucléaire, pour une année, était de l’ordre de 0,0003 (3 chances sur 10,000). Or comme il y a 143 réacteurs nucléaires, sur 30, la probabilité d’avoir un incident majeur est (selon le calcul des auteurs)

D’où la conclusion savoureuse, « la probabilité d’occurrence d’un accident majeur sur ces parcs serait donc […] de plus de 100% pour l’Union européenne ». Comme on l’a noté, la probabilité d’avoir un incident majeur sur une période lorsque la probabilité annuelle est https://latex.codecogs.com/gif.latex?p s’écrit

https://latex.codecogs.com/gif.latex?P[N\leq%20n]=1-(1-p)^n%20\sim%20np

en utilisant un développement limité non justifié ici ! Il convient ici d’utiliser le modèle de Poisson. La probabilité d’avoir au moins un incident majeur est

https://latex.codecogs.com/gif.latex?P[N\leq%20n]=1-(1-p)^n%20\sim%201-e^{-np}

soit ici 72,47%. Si la probabilité était traduite en terme de durée

https://latex.codecogs.com/gif.latex?p=\frac{1}{T}

avec

https://latex.codecogs.com/gif.latex?T=\frac{1}{0,0003\times143}\sim%2023,31

on voit qu’ici, le temps moyen d’attente entre deux incidents majeurs en Europe est de 23 ans. Ce qui fait que sur 23 ans, la probabilité de n’avoir aucun incident majeur est de l’ordre de 37%.

  • Conclusion

La loi de Poisson est présente partout en assurance, car c’est la loi centrale pour modéliser le comptage d’événements rares. Le nombre de décès dans un portefeuille d’assurance-vie suit une loi de Poisson, tout comme le nombre d’accidents par unité de temps en assurance automobile. On retrouve même l’estimateur Chain Ladder du montant de provisions pour sinistres a payer quand on utilise une régression de Poisson sur les incréments de paiements.


5 thoughts on “La Loi des Petits Nombres”

  1. Bonjour,
    Je vous remercie pour cet article, sur lequel je me suis basée afin de modéliser la fréquence des sinistres au sein d’un organisme, à l’aide de certaines variables explicatives (âge, fonction, sexe, ancienneté…).
    Je voulais savoir est-ce qu’il y a des hypothèses à vérifier avant d’entamer la phase de la modélisation? Si vous pouvez m’aider je vous serai très reconnaissante.
    P.S. le logiciel que j’utilise est le SAS.

    1. je ne suis pas certain de comprendre… les hypothèses sont posées de la phase de modélisation (hypothèses que l’on pourra tester après, éventuellement). Ici on suppose juste les fréquences i.i.d. Il faudrait tester cette hypothèse. En gros, je chercherais à tester la présence d’un mélange, et donc de surdispersion….

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